Matematica: Investigando valores h, pi, b tal que pi^b=b^pi=h e outros

 

Potenciação e Logaritmo

potencia = Log_base(numero)
numero = base^potencia


Considere:

Log(x, y) o mesmo que Log_y(x): Log de x na base y.
Qual o valor da potencia que quando eleva a base y dá um número x?

Pow(x, y) o mesmo que x^y: x elevado a y.
Qual o valor do número que é dado pela base x elevada à uma potencia y?

potencia	= Logbase(numero)	= Log(numero, base)
numero	= basepotencia	= Pow(base, potencia)

Equivalentes em javaScrit:

function Log(numero, potencia)
{
	return Math.log(numero)/Math.log(potencia)
}

function Pow(base, potencia)
{
	return Math.pow(base, potencia)
}

Se eu quiser a base, ou seja a raiz, basta elevar o número dado a 1/potencia:

base = numero^1/potencia

É o mesmo que fazer Pow(numero, 1/potencia)


Elevando a numero natural ou fracionario

* se elevamos um número com um fracionário na potencia obtemos a base (Obtem-se a base se potencia na forma 1/n, ou obtem-se parte dela se potencia na forma k/n tal que 1<k)
* se elevamos uma base com um número natural, obtemos o número (E apenas o número, pois não sendo natural, recebe parte da base).

Elevando a numero inteiro ou negativo

* se elevamos uma base a um positivo obtemos um número. Mas...
* se elevamos uma base com um negativo equivale a fazer 1/numero



Propriedades dos Logs


Para qualquer x, y e z:

Log(x, Log(y, x) )	= Log(Pow(x,y), x)	= y
Log(x * y, z)	= Log(x, z)+Log(y, z)
Log(x / y, z)	= Log(x, z) - Log(y, z)
Log(xz, y)	= Log(Pow(x,z), y)	= z*Log(x, y)
Log(x, yz)	= Log(x1/z, y)	= Log(x, y)/z
Log(x, y)	= 1/Log(y, x)	= -Log(1/x, y)	= -Log(x, 1/y)	= Log(1/x, 1/y)
Log(x, z/y)	= -Log(x, y/z)

[ Log(b, a)+1 ] / Log(b, a)	= Log(a, b)+1
1/ Log(b, a)	= Log(a, b)

Mudança de base:
Log(b, a) = Log(b, e)/Log(a, e)


Propriedades das Potenciações


Para qualquer x, y e z:

Pow(x, Log(y, x))	= y
Pow(x*z, y)	= Pow(x, y)*Pow(z, y)
Pow(x, y)*Pow(x, z)	= Pow(x, y+z)
Pow(x, y)/Pow(x, z)	= Pow(x, y-z)
Pow(x/y, z)	= Pow(x,z) / Pow(x,z)
Pow(Pow(x, y), z)	= Pow(x, y*z)
Pow(Pow(x, y), 1/z)	= Pow(x, y/z)
Pow(Pow(x, y), 1/y)	= x
Pow(x, y)	= Pow(1/x, -y)	= 1/Pow(1/x, y)	= 1/Pow(x, -y)

Para e, π e phi temos:
e = 2.718281828459045
π = 3.141592653589793
numero de ouro phi = 1.618033988749895


Sistema para encontrar h, b e k tal que π^b = b^π = h e π = b*k = b^k


Para valores maiores que e (número de Euler):

function FindB(num, precisao)
{
	if(precisao==null)precisao=1000;
	//var b=num/1000000000000
	b=1;
	for(var x=0; x<precisao; x++)
	{
		h = Pow(b,num) ;
		dh = (h - Pow(num, b)) /2 ;
		b = Pow(h - dh, 1/num) ;
	}
	return b;
}

grafico abaixo, função verde:

Vejam esse no gáfico quando puderem, que interessante:

function FindB(num, precisao)
{
	if(precisao==null)precisao=1000;
	//var b=num/1000000000000
	b=1;
	for(var x=0; x<precisao; x++)
	{
		h = Pow(xx,num) ;
		dh= Math.abs(h - Pow(num, xx)) /2 ;
		xx = Pow(Math.abs(h - dh), 1/num) ;
	}
	return b;
}

Então, Para num = 3.141592653589793 temos a função FindB(pi) tal que:
b para num=3.141592653589793: FindB(3.141592653589793) = 2.3821790879930154
Teste:
se b = 2.3821790879930154
então k = num/b = 1.3187894518193355
&& num = b*k = 3.141592653589793
&& num = Pow(b,k) = 3.1415926535897927
&& h = Pow(num,b) = 15.286217347834953
&& h = Pow(b,num) = 15.286217347834949


A função verde mostra o resultado de findB(num, precisao). Uma função que deve ser algo Log(m,n)