Investigando Identidades de origem em: b^π = π^b = h

Gráfico da relação entre operações

numero = base^potencia

As funções em javaScrit que darão os resultados:

function Log(numero, potencia)

{

	return Math.log(numero)/Math.log(potencia)

}



function Pow(base, potencia)

{

	return Math.pow(base, potencia)

}

Se eu quiser a base, ou seja a raiz, basta elevar a 1/potencia:

base = numero^1/potencia

É o mesmo que fazer Pow(numero, 1/potencia)


Investigando Identidades de origem tal que: b^π = π^b = h

Existem dois valores h e b tal que b^π = π^b = h.
A partir de h e b encontraremos outros valores, como por exemplo k e k-1 tal que k=1.318789451819334:
Os valores de h, π, b, k e k-1 são:

Tabela 1

h	= 15.286217347834953
π	= 3.141592653589793
b	= 2.382179087993018
k	= 1.318789451819334
k-1	= 0.318789451819334

A partir de h, π, b, k e k-1 obtemos a tabela com algumas equivalências:

h	= 15.286217347834953	= Pow(b,π) = Pow(π, b)
k/(k-1)	= 4.136866650678032	= Log(π, k) = -Log(π, 1/(k)) = -Log(1/(π), k) = Log(1/(π), 1/(k)) = Log(b, k) +1 = -Log(b, 1/(k)) +1 = -Log(1/(b), k) +1 = Log(1/(b), 1/(k)) +1
π	= 3.141592653589793	= Pow(h, 1/b) = 1/Pow(1/h, 1/b) = Pow( b,k) = 1/Log(b, h) = -1/Log(b, 1/h) = -1/Log(1/b, h) = 1/Log(1/b, 1/h) = Log(h, b) = Log(h, 1/b) = Log(1/h, b) = Log(1/h, 1/b)
1/(k-1)	= 3.136866650678032	= Log(π, k)-1 = -Log(π, 1/(k))-1 = -Log(1/(π), k)-1 = Log(1/(π), 1/(k))-1 = Log(b, k) = -Log(b, 1/(k)) = -Log(1/(b), k) = Log(1/(b), 1/(k))
b	= 2.382179087993018	= Pow(h, 1/π) = Pow( π,1/k) = Log(h, π) = -Log(h, 1/π) = -Log(1/h, π) = Log(1/h, 1/π) = Log(π, h) = -Log(π, 1/h) = -Log(1/π, h) = Log(1/π, 1/h)
k	= 1.318789451819334	= Pow(b, k-1) = Log(π, b) = -Log(π, 1/b) = -Log(1/π, b) = Log(1/π, 1/b)
1/k	= 0.7582711543684638	= Log(b, π) = -Log(b, 1/π) = -Log(1/b, π) = Log(1/b, 1/π)
1/b	= 0.4197837203089959	= Pow(1/h, 1/π) = Pow( 1/π,1/k) = 1/Log(π, h) = -1/Log(π, 1/h) = -1/Log(1/π, h) = 1/Log(1/π, 1/h) = 1/Log(h, π) = -1/Log(h, 1/π) = -1/Log(1/h, π) = 1/Log(1/h, 1/π)
k-1	= 0.318789451819334	= Pow(b, k-1)-1 = 1/Log(b, k) = -1/Log(1/b, k) = -1/Log( h, 1/k) = 1/ Log(1/b, 1/k) = Log(k, h)*π = Log(k, 1/h)*π = Log(1/k, h)*π = Log(1/k, 1/h)*π = Log(k, b) = -Log(k, 1/b) = Log(1/k, 1/b) = -Log(1/k, b) = 1/(Log(π, k) -1) = 1/(-Log(1/π, k) -1) = 1/(-Log(π, 1/k) -1) = 1/(Log(1/π, 1/k) -1)
1/π	= 0.3183098861837907	= Pow(1/h, 1/b) = 1/Pow(h, 1/b) = Pow( 1/b,k) = Log(b, h) = -Log(b, 1/h) = -Log(1/b, h) = Log(1/b, 1/h) = 1/Log(h, b) = -1/Log(h, 1/b)= -1/Log(1/h, b) = 1/Log(1/h, 1/b)
1/h	=0.06541840778821806	= Pow(1/b,π) = Pow(1/π, b)

Como foram obtidas as identidades:

Consideraremos esses valores especiais porque possuem identidades, equivalencias, que permitirão conversões.
Portanto, considerando as operações Log e Pow, apresento as identidades encontradas. Os que não se repetirem serão chamados de "desconhecidos", por não conhecer uma utilidade prática.

Propriedade de pi, b, h, k e k-1 nos Logs. Obtendo potencias.

Para todos os elementos da primeira tabela temos que verificar os valores dados pelas operações Podenciação e logaritimica que podem ser permutadas.
Estes grupos foram criados do seguinte modo. Observe parte do código de criação:


Log(x, y)
Log(1/x, y)
Log(x, 1/y)
Log(1/x, 1/y)

E por

Pow(x, y)
Pow(1/x, y)
Pow(x, 1/y)
Pow(1/x, 1/y)

x e y são elementos tirados do primeira tabela. Abaixo a permutação:

pi*b = b*b^k = 7.483836322374099
= Log(h,n) = Pow(b,(k+1)) 

1/(pi*b) = 1/(b*b^k) = 0.1336213082333647
= Log(n,h) = Pow(1/b,(k+1)) 




b = 2.382179087993018
= Log(h,pi) = Pow(h,1/pi) = Pow(k,1/(k-1)) = Pow(pi,1/k) = Log(b,n) = Pow(n,b)

1/b = 0.4197837203089959
= Log(pi,h) = Pow(1/h,1/pi) = Pow(1/k,1/(k-1)) = Pow(1/pi,1/k) = Log(n,b) = Pow(1/n,b)




pi = b*k = b^k = 3.141592653589793
= Log(h,b) = Pow(h,1/b) = Pow(b,k) = Log(pi,n) = Pow(n,pi)

1/pi = 0.3183098861837907
= Log(b,h) = Pow(1/h,1/b) = Pow(1/b,k) = Log(n,pi) = Pow(1/n,pi)




j = 2.7226149860324003
= Log(h,j) = Pow(h,1/j)

1/j = 0.36729394539081545
= Log(j,h) = Pow(1/h,1/j) 




k = 1.318789451819334
= Pow(b,(k-1)) = Log(pi,b) = Pow(n,(pi-b)) 

1/k = 0.7582711543684638
= Pow(1/b,(k-1)) = Pow(1/n,(pi-b)) = Log(b,pi) 

(k-1)/k = 0.24172884563153613
= Log(k,pi) 

k/(k-1) = 4.136866650678033
= Log(pi,k) = Log(b,k) + 1

k-1 = 0.31878945181933394
= Log(k,b) 

1/(k-1) = 3.1368666506780323
= Log(b,k) = Log(pi,k) - 1




n = 1.4396194958475907
= Pow(pi,1/pi) = Pow(b,1/b) = Pow(k,1/(pi-b)) 

1/n = 0.6946279922468261
= Pow(1/pi,1/pi) = Pow(1/b,1/b) = Pow(1/k,1/(pi-b))




h = 15.286217347834953
= Pow(pi,b) = Pow(b,pi) = Pow(j,j)

1/h = 0.06541840778821806
= Pow(1/pi,b) = Pow(1/b,pi) = Pow(1/j,j)




pi-b = 0.7594135655967751
= Log(k,n)

1/(pi-b) = 1.3168055527348437
= Log(n,k)




1.933211986413636
= Pow(k,b) = Pow(b,(pi-b))

0.5172738463385653
= Pow(1/k,b) = Pow(1/b,(pi-b))

3.136187312300606
= Pow(n,1/(k-1)) = Pow(b,1/(pi-b))

0.3188585057014443
= Pow(1/n,1/(k-1)) = Pow(1/b,1/(pi-b))

36.4621596072079
= Pow(h,k) = Pow(pi,pi)

36.26543206886381
= Pow(h,1/(pi-b)) = Pow(pi,1/(k-1))

0.027574468107842122
= Pow(1/h,1/(pi-b)) = Pow(1/pi,1/(k-1))

0.027425693123298112
= Pow(1/h,k) = Pow(1/pi,pi)

7.9071604434818905
= Pow(h,1/k) = Pow(b,b)

0.12646765006827831
= Pow(1/h,1/k) = Pow(1/b,b)

2.3852964260234195
= Pow(h,(k-1)) = Pow(k,pi) = Pow(pi,(pi-b))

0.4192351059977574
= Pow(1/h,(k-1)) = Pow(1/k,pi) = Pow(1/pi,(pi-b))

1.4404100252168077
= Pow(k,k) = Pow(pi,(k-1))

0.6942467648053768
= Pow(1/k,k) = Pow(1/pi,(k-1))

1.6169456529543793
= Pow(n,k) = Pow(pi,1/b)

1.318240592948899
= Pow(n,1/k) = Pow(b,1/pi)

0.6184499758373847
= Pow(1/n,k) = Pow(1/pi,1/b)

0.7585868659703492
= Pow(1/n,1/k) = Pow(1/b,1/pi)

1.1231757124839339
= Pow(k,1/b) = Pow(n,(k-1))

0.8903326424219703
= Pow(1/k,1/b) = Pow(1/n,(k-1))

1.3754994389272865
= Pow(j,1/pi) = Pow(b,1/j)

1.522650180074677
= Pow(pi,1/j) = Pow(j,1/b)

0.6567496678396321
= Pow(1/pi,1/j) = Pow(1/j,1/b)

0.7270086571462886
= Pow(1/j,1/pi) = Pow(1/b,1/j)