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Investigações sobre potência, raíz, logarítmo e exponenciação:
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UNB-Matemática
Autor: Luiz Augusto Prado 1807787/DF
Blog: tivideotutoriais.blogspot.com
Apesar de gostar bastante de matemática e ter um bom instinto para ela devo confessar que não me considero experiênte. Ou seja, ainda sou capaz de me surpreender com novidades que já me deveriam ser óbvias. Por isso, pensando em outros no mesmo estágio que eu e que estudaram em livros que não detalharam bem as propriedades de potenciação e radiciação decidí compartilhar um pouco das coisas que ainda me surpreendem e assim, quem sabe, melhorar a o material didático sobre o assunto.
Para avançar nos estudos em potenciação, radiciação, logarítmo e exponenciação percebi a necessidade da notação e criação de dois operadores em javaScript. Estes operadores devem ser apresentados no momento em que se estuda potenciação e radiciação. Antes de se falar sobre logarítmo e exponenciação. O conhecimento e a importância da constante e=2.718281828459045 precede o estúdo das operações com logarítmo e exponenciação. Devemos concordar que no fundo as únicas diferênças entre uma potênciação e uma exponecial, uma radiciação e um logarítmo, é onde onde ocorrerão o aparecimento das variáveis. No caso da potenciação a variável se destaca na base (Exemplo: xn, onde x é a variável e n é a constante) enquanto que na exponenciação a variável aparece na potência (Exemplo: nx, onde x é a variável e n é a constante). Mas a possibilidade de existírem notações como xx ou x√x torna tal diferênciação aparentemente inútil. Imagino que em algum lugar, em outro planeta, outra civilização possa existir apenas com os operadores de potenciação e logarítmo, pois a radiciação e a exponenciação são apenas 'espelhos' destas ultimas.
Antes de apresentar os operadores, os interessados devem recordar as propriedades da potenciação e radiciação. Por enquanto deixemos a exponenciação e logarítmo para depois. Se gosta de matemática, mas como eu não é tão experiênte, você também poderá se surpreender agora. Tem certeza que conhece todas as propriedades? Pergunto:
É possivel obter um x>0 ∈ ℝ tal que xx < 1/e1/e ?
Por causa deste questionamento mostrarei que o conhecimento da constante 1/e deve preceder o do 'e' que é mostrado somente no estudo dos logarítmos e exponenciações.
Os operadores que apresento permitirão a inclusão de propriedades que me passaram desapercebidas quando estudei potenciação e radiciação. São estes os operadores que sugiro apresentar:
→ Potência Perfeita
→ Raíz Perfeita
Potência Perfeita
Será considerado potência perfeita o número que eleva a ele mesmo: x^x (ou xx)
Podemos representar a potência perfeita de x por: x'.
Observe que potências perfeitas de valores menores que 1/e = 0.36787944117144233 darão o mesmo resultado que seu espelho maior. Exemplo:
Se x=1/4 → x'=√2/2, pois x < 1/e.
Se x=1/2 → x'=√2/2, pois x > 1/e.
A função para a execução de uma potência perfeita de 'x' será dada por: powPerfeita(x) ou para facilitar pp()
Assim se assemelha a função javaScript potência perfeita:
function powPerfeita(Numero)
{
return pow(Numero, Numero) ;
}
Raíz Perfeita
Será considerada a raíz perfeita de x o k tal que kk = x.
Podemos representar a raíz perfeita de x por: o√x.
Observe que é o mesmo que buscar pela solução da equação logk(x)=k sem que saibamos inicialmente qual é o k.
Não existirão raízes perfeitas de valores menores que 1/e1/e=0.6922006275553463
Para valores entre 1/e1/e e 1 existirão duas (2) raízes perfeitas e serão chamadas de raízes espelhos.
A função para a execução de uma raíz perfeita de 'x' será dada por: raizPerfeita(x), ou para facilitar rp(x).
Observe que o√(1/e1/e)=1/e.
Este valor é importante para o desenvolvimento da função raizPerfeita pois:
Para qualquer x tal que 0<x<1, se x < 1/e ou se 1/e < x teremos sempre (1/e)1/e < xx
Devemos ter atenção pois estamos acostumados com algumas regras para números inteiros maiores que zero tais como:
Se a<b<c → aa<bb<cc
Se algum destes for menor que 1, o caso deve ser reestudado. Exemplo:
Se a=(1-s)/e, b=1/e e c=(1+s)/e para qualquer |s|<1 → a<b<c, mas não implica que aa<bb<cc
Assim se assemelha a função javaScript raizPerfeita:
function raizPerfeita(Numero)
{
var x;
var a;
var b;
var n;
var temp;
//Sabendo que a função pp() equivale à função potenciaPerfeita() temos:
if( Numero<1 )
{
// valores entre pp(1/e) e 1 possuem duas raizes espelho
x=0 ;
var limite = pp(1/e)
if( Numero<limite )
{
console.log('Not exist perfect radic for number less than 1/e^(1/e)')
return 0/0;
}
// encontrando o espelho a abaixo de 1/e
a = 1/e;
n=1/(2*e);
while( pp(a)!=Numero )
{
temp = a-n
if(pp(temp)<Numero && temp<1/e)
{
a-=n
}
n/=2
x++
if(100<x)break
}
// encontrando o espelho b acima de 1/e
x=0 ;
b = 1/e;
n=1/e;
while( pp(b)!= Numero )
{
temp = b+n
if(pp(temp)<Numero && 1/e<temp)
{
b+=n
}
n/=2
x++
if(100<x)break
}
return [a, b] ;
}
else
{
// Valores maiores que 1 só possui uma raiz
x=0 ;
n=10;
var resp = 0;
while( pp(resp)!=Numero )
{
temp = resp+n
if(pp(temp)<=Numero)
{
resp+=n
}
n/=2
x++
if(100<x)break
}
return resp ;
}
}
//Observe que o x garante o escape de um loop infinito.
Exemplos de usos para a função raizPerfeita
Para encontrar o valor de x da equação x^x=x+1 foi usado o seguinte fonte:
function k_pow_k_iqual_k_plus_1()
{
// Para K^k = k+1 :
// k = 1.7767750400970546
var resp = 1
while(resp != raizPerfeita( resp + 1 ))
{
resp = raizPerfeita( resp + 1 )
}
return resp
}
Para encontrar o valor de x da equação x^x=x^2+1 foi usado o seguinte fonte:
function k_pow_k_iqual_k_pow_2_plus_1()
{
// Para K^k = k^2+1 :
// k = 2.2288331032781183
var resp = 1
while(resp != raizPerfeita( resp*resp + 1 ))
{
resp = raizPerfeita( resp*resp + 1 )
}
return resp
}
Trabalhando com os operadores dados:
Se temos:
k'=e, onde e = 2.718281828459045
o√e=k
Então
o√(k') = o√e → k = o√e
o√(e)' = k' → e = k'
Neste caso:
k = 1.7632228343518932
Observação:
A partir de agora os interessados devem tomar conhecimeto das propriedades da exponenciação e logarítmo.
O estudo de potência perfeita e raíz perfeita unificará as funções:
→ Potência e exponencial em potência perfeita;
→ Raíz e logarítmo em raíz perfeita.
Observe que k=o√e é o mesmo que logk(e)=k e que a base é k.
Se quisermos logk(e), mudando de base temos ln(e)/ln(k). Se ln(e) = 1 então 1/ln(k) = k
Encontrando relações entre frações e logarítmos
Para qualquer ±1/z ± 1 é possível estabelecer uma relação com os logarítmos correlacionando um A que representa o reequilibrio da proporcionalidade.
Para qualquer z existe um A que satisfaz as condições da tabela abaixo:
| + | 1/z | + | 1 | = | ln(z/A) | / ln(z) |
| + | 1/z | - | 1 | = | ln(1/A*z) | / ln(z) |
| - | 1/z | + | 1 | = | ln(A*z) | / ln(z) |
| - | 1/z | - | 1 | = | ln(A/z) | / ln(z) |
Se +1/z +1 = ln(z/A) / ln(z)
(1/z +1)*ln(z) = ln(z/A)
(1/z +1)*ln(z) = ln(z) - ln(A)
ln(z)/z + ln(z) = ln(z) - ln(A)
ln(z)/z = - ln(A)
ln(A) = -ln(z)/z
ln(A) = -ln(z1/z)
ln(A) = ln(1 / z1/z)
A = 1 / z1/z
Portanto, se +1/z +1 = ln(z/A) / ln(z) temos as formulas genéricas:
ln(A)=-ln(z)/z
Ou também, se observarmos que não podemos realizar raiz perfeita de valores menores que 1/e^1/e:
1/o√A=z
o√A=1/z
A=(1/z)'
Diante do que sabemos, vamos encontrar o valor de A para um z=e:
Se +1/e +1 = ln(e/A)/ln(e) temos:
Se ln(e)=1 então +1/e +1 = ln(e/A)
+1/e +1 = ln(e) - ln(A)
+1/e +1 = 1 - ln(A)
+1/e = - ln(A)
ln(A) = -1/e
exp(ln(A)) = exp(-1/e)
A = exp(-1/e) ou
A = (1/e)1/e ou
A = 0.6922006275553463 (Olha o número especial aqui, gente! )
Vamos encontrar o valor de A para um z=k, onde k=1.7632228343518932:
Se +1/k +1 = ln(k/A)/ln(k) temos:
para ln(k)=0.5671432904097818, que é o mesmo que ln(k)=1/k, produz:
+1/k +1 = ln(k/A) / (1/k)
+1/k +1 = [ ln(k) - ln(A) ] / [1/k]
[+1/k +1]*[1/k] = ln(k) - ln(A)
[+1/k +1]*[1/k] = (1/k) - ln(A)
+1/k2 +[1/k] = (1/k) - ln(A)
+1/k2 = - ln(A)
ln(A) = -1/k2 = -0.3216515118568377
A = 0.7249507830668347 = 1 / k1/k
Agora encontre os valores de A para z1 = 2, z2 = 3, z3 = 5, z4 = pi = 3.141592653589793, z5 = phi = 1.618033988749895
z1 = 2:
ln(A) = -ln(2)/2 = -0.34657359027997264
exp(-ln(2)/2) = 0.7071067811865475
A = 1 / √2
z2 = 3:
ln(A) = -ln(3)/3 = -0.36620409622270317
exp(-ln(3)/3) = 0.6933612743506348
A = 1 / 3√3
z3 = 5:
ln(A) = -ln(5)/5 = -0.32188758248682003
exp(-ln(5)/5) = 0.7247796636776955
A = 1 / 5√5
z4 = pi:
ln(A) = -ln(pi)/pi = -0.3643788396759063
exp(-ln(pi)/pi) = 0.6946279922468261
A = 1 / pi√pi
z5 = phi:
ln(A) = -ln(phi)/phi = -0.2974052636752033
exp(-ln(phi)/phi) = 0.7427429446246816
A = 1 / phi√phi
Casos interessantes
Existem logarítmos possíveis de se obter tais como os de x1 e x2 para os casos ln(x1)=-x1 e ln(x2)=1/x2, mas nunca encontraremos casos como ln(x) = x. Por isso, como vimos, não faz sentido produzir uma função logarítmica e exponencial perfeitas, como fizemos para potências e raízes. Quando o LN é realizado sobre a variável ele sempre dará um resultado diferente da variavel. O mais próximo do valor, correlacionado com a variável, será com módulo igual, mas sinal trocado, ou inverso multiplo da variável original. Observe que os valores abaixo estão relacionadas com k=o√e. Incluindo os resultados de seus LNs.
A obtenção de um ajuda na construção de outros. Veja como os resultados são repetitivos.
Observe também que da metade para cima todos os valores dos LNs são positivos e da metade para baixo, o espelho negativo:
| o√e2 | = | k2 | = | 3.1089547 | → ln(k2) = 2*ln(k) = 2/k | = 1.1342865 |
| e | = | kk | = | 2.7182818 | → ln(e) = k*ln(k) | = 1 |
| o√e | = | k | = | 1.7632228 | → ln(k) = 1/k | = 0.5671432 |
| e1/k2 | = | k1/k | = | 1.3794039 | →-ln(1 / k1/k) = ln(k1/k) = ln(k)/k = ln(k√k) = 1 / k2 | = 0.3216515 |
| = | 2/k | = | 1.1342865 | → ln(2/k) = ln(2)-ln(k) = ln(2)-1/k | = 0.1260038 | |
| = | k/2 | = | 0.8816114 | → ln(k/2) = ln(k)-ln(2) = 1/k-ln(2) | =-0.1260038 | |
| 1 / e1/k2 | = | 1 / k1/k | = | 0.7249507 | → ln(1 / k1/k) = -ln(k1/k) = -ln(k)/k = -ln(k√k) = -1 / k2 | =-0.3216515 |
| 1 / o√e | = | 1/k | = | 0.5671432 | → ln(1/k) = -1/k | =-0.5671432 |
| 1/e | = | 1/kk | = | 0.3678794 | → ln(1/e) = -k*ln(k) | =-1 |
| 1/o√e2 | = | 1/ k2 | = | 0.3216515 | → ln(1 / k2) = -2*ln(k) = -2/k | =-1.1342865 |
Observe que:
ln(2)-1/k permite produzir:
exp(ln(2)-1/k) = 2/k que permite produzir:
exp(2/k) = k^2 (k ao quadrado) que permite produzir:
exp(1/k^2) = k^(1/k)
Outras relações que valem ser citadas
| (k-1)/k | = | 1 - 1/k | = | 0.432856709590215 | → | ln((k-1)/k) | = | -0.8373485304812345 |
| k-1 | = | = | 0.7632228343518932 | → | ln(k-1) | = | -0.27020524007145263 | |
| 1/(k-1) | = | k/(k-1) - 1 | = | 1.3102333355227391 | → | ln(1/(k-1)) | = | 0.27020524007145263 |
| k/(k-1) | = | 1/(k-1) + 1 | = | 2.3102333355227391 | → | ln(k/(k-1)) | = | 0.8373485304812345 |
| k+1 | = | = | 2.763222834351893 | → | ln(k+1) | = | 1.0163976921108941 | |
| (k+1)/k | = | 1 + 1/k | = | 1.567143290409785 | → | ln((k+1)/k) | = | 0.44925440170111236 |
| k/(k+1) | = | 1 - 1/(k+1) | = | 0.6381037433651103 | → | ln(1 - 1/(k+1)) | = | -0.4492544017011123 |
| 1/(k+1) | = | 1 - k/(k+1) | = | 0.36189625663488967 | → | ln(1/(k+1)) | = | -1.0163976921108944 |
Investigando convergências pelas proporcionalidades 'a' e 'b'
Temos limites onde x → ∞+ em (1/x + 1)x=e
Para kk=e, encontraremos um valor z que satisfaça (1/z + 1)k=e
k = 1/z + 1 → z = 1/(k-1) → z = 1.3102333355227391
Se z = 1/(k-1) = 1.3102333355227391 → (1/1.3102333355227391 + 1)k=e
Para kk=e, existe um a e um b tal que (a*k)b*k=(1/z + 1)b*k onde a*k=(1/z + 1)
Se z = 1/(k-1) = 1.3102333355227391 → a=b=1
Mas se z ≠ 1/(k-1) então as proporções a ≠ b
Exemplo 1:
Se (1/z + 1)b*k=e, exatamente e, a*k=(1/z + 1) e b*k=1000000 encontrar os valores de a, b e z
Se x=1000000 → b*k=1000000 → b=1000000/k → b=567143.290409785
Se (a*k)1000000=e → a*k=e1/1000000 → a=(e1/1000000)/k → a=0.5671438575533589
a*k=(1/z + 1) → (a*k)-1=1/z → z=1/[(a*k)-1]
z=1/[(a*k)-1] → z=1 / [(0.5671438575533589*1.7632228343518932) - 1] → z=1/(1.0000010000005-1)
z=1/0.0000010000005 → z=999999.50000025
Observe que a ≈1/k, a é muito próximo de 1/k, e z ≈ b*k, portanto:
| a | = | 0.5671438575533589 |
| 1/k | = | 0.567143290409785 |
| b | = | 567143.290409785 |
| z | = | 999999.50000025 |
Assim, podemos notar que:
(1/999999.50000025 + 1)1000000 = e
e, por aproximação, que:
(1/1000000 + 1)1000000 ≈ e
Exemplo 2:
Se a constante de proporcionalidade a=3 e (1/z+1)c=2 onde a*k=(1/z+1) encontre os valores de z e c:
Solução:
se 2 = eln(2)
e se z=1/[(a*k)-1] → z=1/[(3*k)-1] → z=0.23311824661688085
→ (1/z+1)c=eln(2)
→ ec*ln(1/z+1)=eln(2)
→ c*ln(1/z+1) = ln(2)
→ c = ln(2)/ln(1/z+1)
→ c = ln(2)/ln(1/0.23311824661688085+1)
→ c = 0.4161157790890601
se (1/z+1)c=2 então (1/0.23311824661688085+1)0.4161157790890601=2
Exemplo 3:
Se (1/z+1)1/k=e1/k2 encontre o valor de z:
Solução:
Se e1/k2 = k1/k
→ (1/z+1)1/k = k1/k → (1/z+1) = k
→ 1/z+1=k → 1/k=z+1 → z=(1/k)-1
→ z=1.3102333355227391
Exemplo 4:
Para (z/x+1)x/2 convergir à 5 encontre o valor de z:
Solução:
Forma 1:
se 5 = eln(5)
→ (z/x+1)x/2 = eln(5)
para um x tão grande possível, como x=1000000, devemos encontrar a constante de proporcionalidade 'a':
→ (a*k)1000000/2 = eln(5)
→ a*k = e2*ln(5)/1000000
→ a = (e2*ln(5)/1000000)/k
→ a = (e2*ln(5)/1000000)/1.7632228343518932
→ a = 0.5671451159765499
→ a*k = z/1000000+1 → (a*k)-1 = z/1000000
→ z=1000000*((a*k)-1)
→ z=1000000*((0.5671451159765499*1.7632228343518932)-1)
→ z=3.218881005517815
Então, para x=1000000, (3.218881005517815/x+1)x/2 = 5.00000000019011
Forma 2:
Encontrar um k2=o√5 → k2=2.1293724827601563
Da mesma forma que fizemos (a*k)b*k = e, faremos (a*k2)b*k2 = 5
Encontrando o a:
para b*k2=x/2, onde x é tão grande quanto possível:
→ b*k2=1000000/2
→ (a*k2)1000000/2 = 5
→ a*k2 = 52/1000000
→ a = (52/1000000)/k2
→ a = 0.4696234345926981
Para a*k2=(z/x+1) → a*k2=(z/1000000+1)
→ z/1000000+1=a*k2
→ z/1000000=a*k2-1
→ z=1000000*(a*k2-1)
→ z=3.218881005517815 que é o mesmo valor encontrado na primeira forma
Exemplo 5, forma comum:
Ainda com k2=o√5, para (1/z + 1)k2=5, encontre o valor de z:
Solução:
→ (1/z + 1) = 51/k2
→ (1/z + 1) = k2
→ 1/z = k2-1
→ z = 1/(k2-1)
→ z = 0.8854474633169975
Logo (1/0.8854474633169975 + 1)k2=5
Logo (1.1293724827601563 + 1)k2=5
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