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Exercícios de logaritmo e exponenciação:
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Para melhor entendimento visualize o codigo fonte da página.
Notações:
- pow(base, logaritmo) é a forma de encontrar potencias. O simbolo '^' é a notação escrita de potencia.
- exp(numero) é a forma de encontrar o exponencial para base E. expBase(numero, Base) permite escolher a base
- ln(base) é a forma de encontrar o logaritmo para base E. lnBase(numero, Base) permite escolher a base
Como encontrar o valor de k para as equações dadas abaixo?
k^k = k+1
k = (k^k)-1
k*ln(k) = ln(k+1)
k = ln(k+1)/ln(k)
No momento a formula mais facil para se encontrar o valor de k é usando um metodo por reinserção de valores, como por exemplo o método de Newton-Rhapson.
Este resultado foi obtido por metodo próprio.
k = 1.7767750400970548
Este número possui propriedades interessantes e aqui apresento os testes feitos com essa constante.
Apresento a lista de valores e formulas relacionadas com este numero que aparecem constantemente. Elas mostram relações interessantes.
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igualdades encontradas:
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ln(k) = -ln(1/k) = 0.574799945827785
-ln(k) = ln(1/k) = -0.574799945827785
ln(k-1) = -ln(1/(k-1)) = ln(0.776775040097055) = -ln(1.2873740122687956) = -0.25260449421917713
-ln(k-1) = ln(1/(k-1)) = -ln(0.776775040097055) = ln(1.2873740122687956) = 0.25260449421917713
(k-1)*ln(k) = ln(1+1/k) = -ln(k/(k+1)) = 0.4464902509681625
(k-1)*ln(1/k)= -ln(1+1/k) = ln(k/(k+1)) = -0.44649025096816264
ln(k+1) = ln(k^k) = k*ln(k) = -ln(1/(k+1)) == ln(2.776775040097055) == 1.0212901967959476
-ln(k+1) = -ln(k^k) = -k*ln(k) = ln(1/(k+1)) ==-ln(2.776775040097055) == -1.0212901967959476
ln(k/(k-1)) = ln(2.2873740122687956) = ln(k) - ln(k-1) = 0.8274044400469622
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e = 2.718281828459045 ==== ln(e) = 1
k = 1.7767750400970548 ==== ln(k) = 0.574799945827785
k+1 = k^k = 2.776775040097055 ==== -k*ln(1/k ) = k*ln(k) = ln(k+1) = 1.0212901967959476
k^(1/k) = 1.3819664389546162 ==== ln(k^(1/k)) = (1/k)*ln(k) = 0.3235074406472905
1/k = ln(k^(1/k))/ln(k) = ln(k)/(k*ln(k)) = 0.5628174515246318
(1 - 1/k)*ln(k+1) = (k-1)*ln(k) = 0.4464902509681626
(1/k - 1)*ln(k+1) = -0.4464902509681626
+1-(1/k) = (1 - 1/k) = (k-1)/k = 0.43718254847536814
+1+(1/k) = (1 + 1/k) = (k+1)/k = 1.5628174515246318
k-(1/k) = 1.213957588572423 ==== ln(k-(1/k)) = 0.19388575674898545
k+(1/k) = 2.3395924916216866 ==== ln(k+(1/k)) = 0.849976765324312
1-(1/k) = 0.4371825484753681 ==== ln(1-(1/k)) = -0.8274044400469623
1+(1/k) = 1.5628174515246318 ==== ln(1+(1/k)) = 0.4464902509681625
(k-1) = 0.7767750400970548 ==== ln(k-1) = -0.2526044942191772
(k+1) = 2.776775040097055 ==== ln(k+1) = 1.0212901967959476
k = 1.7767750400970548 ==== ln(k) = 0.574799945827785
1/k = 0.5628174515246319 ==== ln(1/k) = -0.574799945827785
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pow(k, 1/(k-1)) = 2.095898862168109 ==== ln(pow(k, 1/(k-1))) = 0.739982512512202
pow(k, k-1) = 1.562817451524632 ==== ln( pow(k, k-1)) = 0.44649025096816264
pow(k, 1) = 1.7767750400970548 ==== ln(pow(k, 1)) = 0.574799945827785
pow(k, k) = 2.7767750400970552 ==== ln(pow(k, k)) = 1.0212901967959478
pow(k, k+1) = 4.933704583208946 ==== ln( pow(k, k+1)) = 1.5960901426237328
pow(k, pow(k, k+1)) = 17.045617407824093 ==== ln( pow(k, pow(k, k+1)) ) = 2.835893127158797
pow(k, k*(k+1)) = 17.045617407824093 ==== ln( pow(k, k*(k+1)) ) = 2.835893127158797
pow(k, pow(k, 0)) = 1.7767750400970548
pow(k, pow(k, 1)) = 2.7767750400970552
pow(k, pow(k, k)) = 4.9337045832089474
pow(k, pow(k, pow(k, k))) = 17.04561740782411
pow(k, pow(k, pow(k, pow(k, k)))) = 17994.473511887205
pow(k, 1/(k+1)) = 1.2299858994866348 ==== ln(pow(k, 1/(k+1))) = 0.2070027054866117
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pow(k+1, 1/(k-1)) = 3.7239407848681125 ==== ln(pow(k+1, 1/(k-1))) = 1.314782458339987
pow(k+1, k-1) = 2.2107077951806438 ==== ln( pow(k+1, k-1)) = 0.7933127335669014
pow(k+1, 1) = 2.776775040097055 ==== ln(pow(k+1, 1)) = 1.0212901967959476
pow(k+1, k) = 6.138638226605603 ==== ln(pow(k+1, k)) = 1.8146029303628488
pow(k+1, k+1) = 17.045617407824086 ==== ln( pow(k+1, k+1)) = 2.8358931271587964
pow(k+1, 1/(k+1)) = 1.4445491129927879 ==== ln(pow(k+1, 1/(k+1))) = 0.36779724034117334
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k ^ ln(k+1) = (k+1) ^ ln(k) = 1.7986520977331621
k ^ -ln(k+1) = (k+1) ^ -ln(k) = 0.5559718865367561
k+1 = 2.776775040097055 ==== ln(k+1)= 1.0212901967959476
k = 1.7767750400970548 ==== ln(k)= 0.574799945827785
k-1 = 0.7767750400970548 ==== ln(k-1)= -0.2526044942191772
k = 1.7767750400970548 ==== ln(k) = 0.574799945827785
1/k = 0.5628174515246319 ==== ln(1/k)= -0.574799945827785
(k+1)/k = 1.5628174515246318 ==== ln((k+1)/k) = 0.4464902509681625
(k-1)/k = 0.43718254847536814 ==== ln((k-1)/k) = -0.8274044400469622
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((1/k)+1) = 1.5628174515246318 ==== ln((1/k)+1)= 0.4464902509681625
-(-1-k) = 2.776775040097055 ==== ln(-(-1-k))= 1.0212901967959476
(k) = 1.7767750400970548 ==== ln(k )= 0.574799945827785
-(1-k) = 0.7767750400970548 ==== ln(-(1-k)) = -0.2526044942191772
(-((1/k)-1)) = 0.4371825484753681 ==== ln( -((1/k)-1) )= -0.8274044400469623
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(1+(1/k)) = 1.5628174515246318 ==== ln(1+(1/k))= 0.4464902509681625
(k+1) = 2.776775040097055 ==== ln(k+1)= 1.0212901967959476
(k) = 1.7767750400970548 ==== ln(k )= 0.574799945827785
(k-1) = 0.7767750400970548 ==== ln(k-1)= -0.2526044942191772
(1-(1/k)) = 0.4371825484753681 ==== ln(1-(1/k))= -0.8274044400469623
1/(1+(1/k)) = 0.6398699982678295 ==== ln(1/(1+(1/k)))= -0.44649025096816264
1/(k+1) = 0.36013000173217047 ==== ln(1/(k+1))= -1.0212901967959476
1/(k) = 0.5628174515246319 ==== ln(1/(k ))= -0.574799945827785
1/(k-1) = 1.2873740122687956 ==== ln(1/(k-1))= 0.25260449421917713
1/(1-(1/k)) = 2.287374012268796 ==== ln(1/(1-(1/k)))= 0.8274044400469625
k/(1+(1/k)) = 1.1369050418292252 ==== ln(k/(1+(1/k)))= 0.12830969485962254
k/(k+1) = 0.6398699982678295 ==== ln(k/(k+1))= -0.44649025096816264
k/(k) = 1 ==== ln(1)= 0
k/(k-1) = 2.2873740122687956 ==== ln(k/(k-1))= 0.8274044400469622
k/(1-(1/k)) = 4.064149052365851 ==== ln(k/(1-(1/k)))= 1.4022043858747475
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k/(k+1) = 0.6398699982678295 ==== ln(k/(k+1))= -0.44649025096816264
k/(k-1) = 2.2873740122687956 ==== ln(k/(k-1))= 0.8274044400469622
ln((k+1)/k) = -ln(k/(k+1)) = (k-1)*ln(k) = (1-k)*ln(1/k) = 0.4464902509681625 = 0.44649025096816264 = 0.44649025096816264 = 0.44649025096816264
ln((k-1)/k) = -ln(k/(k-1)) = -0.8274044400469622 = -0.8274044400469622
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Se fizermos exp(-ln(k-1)) encontramos: 1.2873740122687956 que é o mesmo que 1/(k-1)
logo, pelas igualdades mostradas, ln(1/(k-1)) = 0.25260449421917713 que multiplicado por -1 = -0.2526044942191772 que é igual a ln(k-1)
::: -ln(1/(k-1)) = ln(k-1) = ln(0.776775040097055) = -0.2526044942191772
:::: ln(1/(k-1)) = -ln(k-1) = ln(1.2873740122687956) = 0.2526044942191772
Se r = 1/(k-1) = 1.2873740122687956
r+1 = r*k = (1/(k-1)) + 1 = k/(k-1) ==== 2.2873740122687956
ln(k) -ln(k-1) = 0.8274044400469622
ln(1.7767750400970548) -ln(1.2873740122687956) = 0.8274044400469622
ln(r*k) = ln(r+1) = ln(k)+ln(r) = 0.8274044400469622
ln(k) - ln(k-1) =0.8274044400469622
ln(k) = 0.8274044400469622 - ln(k-1) = 0.574799945827785
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Formas de se obter k:
1.7767750400970548= k
1.7767750400970546 = ln(k+1)/ln(k)
1.7767750400970548 = (k+1) ^ (1/k)
1.7767750400970552 = (k^k)-1
1.7767750400970548 = (k+1)^[ ln(k)/ln(k+1) ]
1.7767750400970546 = k^ [ ln(k+1)/k*ln(k) ]
1.7767750400970548 = (k^[ ln(k+1)/ln(k) ]) -1
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CASOS INTERESSANTES
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Para os valores:
k =2.7426420786768744
phi =1.618033988749895
k1 = k+1 = 3.7426420786768744
onde:
ln(phi) =0.48121182505960347
ln(k)=1.0089217180885677
ln(k+1)=1.3197918001653632
Temos:
k = ln(k+1) / ln(phi) =2.7426420786768744
ln(k+1) = (k)*ln(phi) =1.3197918001653632
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Existem dois valores onde a exponenciação ou sua inversa (log) não surte efeito
Isso acontece quando é realizado a exponencial de 0.8070047058095888 na base 0.7666646959621232
O log de 0.8070047058095888 na base 0.7666646959621232 também não é alterado
log na base 0.7666646959621232 de (0.8070047058095888) = 0.8070047058095888
lnBase(0.8070047058095888, 0.7666646959621232) = 0.8070047058095888
expBase(0.8070047058095888, 0.7666646959621232) = 0.8070047058095888
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O limite das interações é para uma base E^(1/E) = 1.444667861009766.
Valores acima desse valor, não convergem. Vão para infinito.
Para a base = 1.444667861009766 foi feita a interação:
base=1.444667861009766
variavel=2.718281828459045
for(i=0; i<100; i++){
variavel = expBase(variavel, base)
if(i>95) print_br( variavel )
}
2.7182818284590446
2.7182818284590446
2.7182818284590446
2.7182818284590446
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Se base = raiz de 2, converge para 2
base=1.4142135623730951
variavel=2.718281828459045
for(i=0; i<100; i++){
variavel = expBase(variavel, base)
if(i>95) print_br( variavel )
}
2.0000000000000013
2.0000000000000013
2.0000000000000013
2.0000000000000013
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