quarta-feira, 16 de dezembro de 2015

Relações entre Silogismo Normativo e as Linguagens formais e sistemas autômatos


Linguagens formais e Sistema autômatos

    Não será possível apresentar a relação entre o silogismo normativo com a lógica, linguagens formais e sistemas autômatos sem algum conhecimento sobre estas disciplinas. Elas são pré-requisitos para o entendimento da comparação, mas tentarei apresentar um resumo simples e de fácil compreensão de alguns conceitos sobre Axiomas, Regras de derivação e Teoremas, para que possamos chegar direto ao ponto de forma rápida. A recomendação é que tenham interesse além do que será exposto. Definições:
    Axioma: É o ponto de partida, os tijolos que fundamentarão nossos teoremas. É como uma verdade tão obvia que não pode ser reduzida em axiomas menores. Deve-se supor como verdadeira. Todo axioma é também um teorema, mas nem todo teorema é um axioma.
    Teorema: É uma construção que, deriva de um axioma ou teorema após o uso ou não de uma regra de derivação.
    Regras de Derivação: Ou regras de inferência, ou regras de dedução, ou regras de transformação, é uma regra ou operação que quando realizada sobre um axioma, ou teorema que é derivado de um axioma, resultará na produção de outro teorema. Atenção! A regra que gera um teorema não é a mesma que o desfaz. Então, o retorno à um axioma, anterior a operação de uma regra, só será permitido se existir tal operação como regra. A regra que o desfaz é outra regra nova que deve ser apresentada. Se a regra for obrigada a ser aplicada quando se chegar a um determinado Teorema, esta obrigatoriedade deve ser especificada na regra.
     Existem vários sistemas formais, tais como a Lógica, Aritmética, Geometria Euclidiana… Mas no nosso caso, para melhor entendimento do que seja um sistema formal, apresentarei o quebra-cabeça MU (que chegou ao meu conhecimento através da leitura de um livro que sempre recomendo aos amantes da matemática e da computação: Gödel, Escher, Bach do autor Douglas R. Hofstadter). Este quebra-cabeça, na minha opinião, demonstra com primazia o significado de axiomas, regras de derivação e teoremas de forma simples e divertida. Tentarei demonstrar aqui estes conceitos utilizando-se do MU de forma breve.
    Resumindo regras literais a símbolos
    Os sistemas tratados aqui serão compostos por cadeias de símbolos e suas regras de derivação podem ser descritas literalmente ou através de símbolos. Para quem tiver maior interesse poderá procurar por Expressões Regulares. A sugestão é que busquem por RegExp e javaScript no Google. Então, por convenção, poderemos simplificar as regras literais abaixo utilizando-se símbolos conforme formalizaremos abaixo:
    Definições:
    a) Dizer “partindo-se de um teorema Z e aplicarmos uma regra x teremos um Teorema Y” é equivalente a dizer “Z→(x)→Y” ou, se a regra não tiver nome, simplesmente “Z→Y”
    b) Dizer “Qualquer caractere” é equivalente a dizer “?”. Exemplo: se temos regra afirmando que “Zy??→Zyxx” então “Zyyx→Zyxx”
    c) Dizer “Um conjunto de caracteres qualquer, ou vazio, em uma posição específica 'n'” é equivalente a dizer “*n” - o qual n é dado por um valor numérico que referenciará à posição do conjunto de caracteres. Exemplo: se temos regra afirmando que “Z[*1]kk[*2]→Z[*1][*2][*2][*1]” então “Z1yykkx→Z1yyxx1yy”. Outro exemplo utilizando a regra: “Z1yykk→Z1yy1yy”
    d) Dizer “O conjunto de 3 caracteres k” é equivalente a dizer “{3}[k]”. Exemplo: Se temos a regra afirmando que {3}[k]→y então, ZkkZkkkkkZ→(ZxkkZykkZ ou ZxkkZkykZ ou ZxkkZkkyZ)
    e) Dizer “O conjunto de quaisquer caracteres k” é equivalente a dizer “{?}[k]”. Exemplo: Se temos a regra afirmando que {?}[k]→{0}[k] então se tivermos a cadeia XxkkXkkkX→(XxkkXkX ou XxkXkkkkkkX ou XxXX…)
    O quebra-cabeça MU
    O sistema que apresentarei é um jogo. Um quebra-cabeça. Este quebra-cabeça resume-se em produzir teoremas através, das regras de derivação, partindo-se dos axiomas dados.
    a) O sistema é composto de cadeias de símbolos.
        Somente existirão 3 símbolos: I, M e U.
    b) Axiomas:
        MI
    c) Regras:
        1) M[*1]I→M[*1]IU
        2) M[*1]→M[*1][*1]
        3) M[*1]III[*2]→M[*1]U[*2]
        4) M[*1]UU[*2]→M[*1][*2]
    d) Exemplos:
        chegando nas cadeias MUI, MIIU e MIUIU
        MI→(2)→MII→(2)→MIIII→(3)→MUI
        MI→(2)→MII→(1)→MIIU
        MI→(1)→MIU→(2)→MIUIU
    e) Tente chegar nas cadeias MIIUIIU, MIIII e MU
   
    É comum pensarmos que determinada cadeia possa fazer parte de um sistema formal (Ser um teorema), mas nem sempre é assim.
No sistema Formal, o autômato somente produz cadeias de caracteres. Não pode dizer nada sobre elas ou se uma cadeia qualquer existe ou não no Sistema formal. Em resumo, os elementos necessários para a produção das cadeias são:
    a) Os símbolos definidos;
    b) Um conjunto de axiomas e teoremas de partida compostos por símbolos;
    c) Uma linguagem formal ou gramática formal. Regras de derivação;
    d) Um autômato ou sistema interpretativo inteligente, ou por exemplo de uma pessoa, que compreenda ou trabalhe de acordo com os símbolos permitidos, axiomas e teoremas dados e as regras de derivação para tentar extrapolar a regra e provar se a cadeia questionada existe ou não.
    Um sistema autômato pode dizer se a cadeia existe ou não sem fazer o sistema autômato tentar produzi-la? Tente encontrar MU. Existirão teoremas que para serem alcançados serão necessário realizar um número extremamente grande de operações de derivação. Mas até onde devemos ir para provar se uma cadeia de caracteres existe ou não dentro do sistema formal? Um sistema autômato sem inteligência teria que testar todas as regras, infinitamente, para poder afirmar se a cadeia de caracteres existe ou não. Por tanto um autômato, que não seja dotado de inteligência, ficaria eternamente tentando produzir uma cadeia de caracteres que não existe.
    Autômatos inteligentes podem abstrair, entender e provar que podem existir cadeias que não farão parte do sistema formal utilizando-se de vários recursos. Por exemplo a aritmética.
    Prova do porque que não é possível obter MU a partir de MI:
    Obs: por estarmos na web, considere 2^n como o mesmo que 2 elevado a n e 2^(n+1) o mesmo que 2 elevado a (n+1). 
    Podemos provar que isso é impossível demonstrando que é impossível se excluir todos os Is da cadeia aplicando qualquer que seja a regra. O que é necessário para fazermos MU. Observe que o axioma inicial, MI, tem um I. Quantidade igual a 1. A única forma de crescimento de Is é dobrando sua quantidade. M{2^n}[I]→M{2^(n+1)}[I]. Para se produzir U é necessário 3 Is, e para o desaparecimento de Is e Us utilizando-se Us, é necessário 6 Is juntos. {2*m}[III]→{2*m}[U]→{m}[UU]→{0}[U]. Portanto, devemos encontrar um valor inteiro para m e n de forma que 2^n =m*6. Podemos concluir, com base na abstração aritmética que está fora da regra determinada, que não existe m e n inteiros que tornem a igualdade verdadeira, pois 6 é múltiplo de 3 que é primo em relação à 2.

Relações entre Silogismo Normativo e as Linguagens formais e sistemas autômatos

    Para quem está acostumado com o silogismo lógico, ou simplesmente lógica, quando se depara com o Silogismo Normativo encontra semelhanças entre elas. As Ciências Naturais tais como Física, Química e Biologia, fundamentam-se na relação causa→efeito para explicar os fatos do mundo. Podemos Inferir que a causa contem os elementos necessários - Axiomas (e/ou Teoremas) e regras - para se chegar no efeito (Teoremas), da mesma forma como ocorre na produção dos teoremas apresentados no quebra-cabeça MU.
    Diferentemente da causalidade, as ações humanas possuem intencionalidades e podemos, em muitos casos, antes de agir, determinar as consequências dos atos. Mesmo que as pessoas dependam da causalidade da natureza para existir e atuarem em um meio, que também o necessita, alguns destes eventos, portanto, poderão ser direcionados conforme os interesses das pessoas. A Natureza só será todos os teoremas que ela pode produzir, incluindo as nossas ações. O que não é natural é, pela natureza, impossível. Como uma busca pelo teorema MU, considerávamos a Terra plana e caminhávamos e navegávamos infinitamente procurando pelas bordas da Terra. Já fomos ignorantes sobre os Axiomas, Teoremas e Regras de derivação da natureza da Terra, pois o que acreditávamos em um “dever ser” que não coincidiu com o “ser”, a real natureza - a realidade.
    Assim, o Sistema Normativo, que é um “dever ser” por ser subjetivo às ideias humanas, é uma abstração representativa de normas que proíbem ou permitem um subconjunto de atitudes possíveis dentro do Sistema Formal da Natureza.
    É comum dizerem que: podemos cometer um crime, mas não devemos cometê-lo. Esta frase faz sentido, pois a natureza permite que a ação ocorra, mas a norma diz que não devemos executá-la. Exemplificando com o Teorema MU, supomos que seus axiomas, regras e teoremas sejam o que normalmente encontramos na Natureza e que existe uma norma que diz é crime produzir certos Teoremas, como por exemplo o Teorema MUIIIII, e que temos o direito de produzir MUIIU. Assim, apresento 2 possibilidades. Uma legal e outra ilegal para se atingir um direito:

Fatos 1:
MI→(2)→MII→(2)→MIIII→(2)→MUIIIII→(3)→MUIIU
Um crime ocorreu aqui: MUIIIII

Fatos 2:
MI→(2)→MII→(2)→MIIII→(1)→MIIIIU→(3)→MUIU→(2)→MUIUUIU→(4)→MUIIU
Nenhum crime ocorreu aqui.

    Portanto, a diferença entre o Sistema Formal Causal e o Sistema Normativo é que o Sistema Normativo vai um pouco mais além do Sistema Causal. Ele precisa de alguns elementos a mais para ser executado.

O Sistema Causal deve conter, basicamente:
1) Definições;
2) Axiomas (argumento cosmológico) ou Teoremas - Fatos iniciais;
    O conhecimento atual não consegue encontrar o axioma inicial dos eventos da natureza, como sugerido pelo argumento cosmológico. É possível que talvez nem exista uma causa inicial.
3) Regras de derivação (Regras da Natureza);
4) Sistema Interpretativo Natural ou autômato natural (Executará as regras sobre os Teoremas - Natureza);
5) Teoremas resultantes (Fatos).
   
O Sistema Normativo deve conter, basicamente:
1) Definições;
2) Axiomas (argumento cosmológico) ou Teoremas - Fatos iniciais;
3) Regras de derivação (Regras da Natureza);
4) Teoremas Aceitos (Direitos e Deveres) e Proibidos (crimes). Lei;
    a) Se escolher agir conforme a lei, nenhuma punição poderá acontecer.
    b) Se escolher infringir a lei, poderá ser levado a Julgamento e receber uma punição.
5) Sistema Interpretativo Executor Inteligente (Sujeito – Inteligente);
    a) Decide qual Teorema produzir.
6) Sistema Interpretativo Natural ou autômato natural (Executará as regras sobre os Teoremas - Natureza);
    a) Se a regra tentada for inválida, o evento é impossível.
    b) Se a regra tentada for válida, o evento é possível.
7) Teoremas resultantes (Fatos);
    a) Ação executada.
8) Sistema Interpretativo Julgador (Juiz – Inteligente). Alguém vê e denuncia.
    a) Se o Teorema não existe, não ocorreu. Fim do processo.
    Exemplo: Lei 7.209 Art. 17. Réu é inocente
    b) Teorema existe, ocorreu, mas não é crime. Fim do processo.
    Exemplo: Lei 3.689 Art. 386 III Réu é inocente
    c) Teorema existe, ocorreu, é crime e o acusado é
    o responsável. O réu é culpado e receberá pena conforme a lei.

Conclusão
    Em se tratando de Silogismo Causal (Lógica Natural) podemos afirmar que alguns eventos (Teoremas dados para serem provados pertencer ao Sistema Formal da Natureza) podem ser Impossíveis, Indeterminados ou Possíveis. Mas para o Sistema Normativo, a importância está apenas em fatos e por isso, o que vale é a Norma e não se faz Normas (Leis) baseadas no que não é possível ou no que é indeterminado sem  prever as consequências e as ações a serem tomadas para qualquer caso de Indeterminação. Sempre haverá no sistema Normativo uma regra a se aplicar para qualquer violação de regra. Não existindo regra impeditiva, não existe medida a se tomar.

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