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Uma nova forma de se entender exponenciais e logarítmos:
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UNB-Matemática
Autor: Luiz Augusto Prado 1807787/DF
Blog: tivideotutoriais.blogspot.com
Recapitulando o que já devemos saber:
→ Potência pefeita: onde pp(x) = xx;
→ Raíz perfeita: onde x=raizPerfeita(n) ou x=rp(n) → x=o√n tal que n=xx ;
→ Não existem raizes perfeitas de numeros menores que 1/e^1/e (1/e1/e);
→ Somente existirão raizes perfeitas espelhas de valores entre 1/e^1/e e 1;
→ Somente existirá uma raíz perfeita de valores maiores que 1 e esta raíz será maior ou igual a 1;
→ Quando existirem raízes perfeitas espelhas uma raíz terá valor abaixo de 1/e e outra estará entre 1/e e 1.
Agora vamos continuar nossos estudos.
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Observe o gráfico pontilhado que vai de 0 a 1:
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0......a......|......b.........T.....x'.....1
A graduação | é onde fica o ponto 1/e: ∄ o√x ∈ ℝ para os x abaixo deste ponto
A graduação T é onde fica o ponto e-1/e: ∀ x abaixo deste ponto → ∀ (x)' ficará acima deste ponto
De 0 até a, temos a distância a
De a até |, temos a distância sa
De | até b, temos a distância sb
∀ a estará entre os pontos 0 e a: a = 1/e-sa
∀ b estará entre os pontos 0 e b: b = 1/e+sb
∀ sa estará entre os pontos a e 1/e: a = 1/e-sa
∀ sb estará entre os pontos 1/e e b: b = 1/e+sb
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Agora criaremos formas para encontrar os valores de a e b atendendo certas condições.
Observe que possuem o mesmo resultado:
→ para x=1/2, x>1/e → xx = 1/√2
→ para y=1/4, y<1/e → yy = 1/√2
Como encontrar, dado apenas um deles, o seu espelho?
Observação: Estes calculos dependem de valores menores que 1, pois somente existem raízes espelho de valores entre pp(1/e) e 1.
Sabemos que existe um ponto m=1/e que separa estes os valores a e b tal que a^a=b^b são espelhos. Então devem existir dois valores sa=|sa| e sb=|sb|<=1/e tal que:
a = m - sa, para os valores de a<1/e
b = m+sb, para os valores de b>1/e
Se for dado a tal que a<1/e temos:
sa = m-a → sa=1/e-1/3
sa = 0.03454610783810902
Como a'=b'
(m+sb)' = a'
m+sb = o√a'
sb = o√a'-m
b = m+sb
b = m+o√a'-m
b = o√a'
b = 0.4035426720160195
sb = b-m
sb = 0.4035426720160195 -1/e
sb = 0.035663230844577176
Portanto:
| 1/e'=0.6922006275553464 | ||
| a*a = | 0.0011934335667622574 | '√a= Não existe |
| b*b = | 0.7667891049705868 | '√b= 0.041828803903544834,0.856382767687706 |
| a = | 0.03454610783810902 | a ' = 0.8902405628042906 |
| b = | 0.8756649501781985 | b ' = 0.8902405628042905 |
| sa = | 0.3333333333333333 | sa'= 0.6933612743506347 |
| sb = | 0.5077855090067561 | sb'= 0.708840825766289 |
| sb / sa= | 1.5233565270202685 | b/a=25.34771657292813 |
| (sb+sa)= | 0.8411188423400895 | b+a=0.9102110580163074 |
Vamos focar em a e b, onde 0<a<1/e e 1/e<b<1
Para encontrar o espelho a tendo o espelho b:
function find_mirror_a_by_b(Numero)
{
var x=0 ;
var resp = 1/e;
var n=1/(2*e);
Numero = pp(Numero)
while( pp(resp)!= Numero )
{
temp = resp-n
if(pp(temp)<=Numero && temp<1/e)
{
resp-=n
}
n/=2
x++
if(100<x)break
}
return resp ;
}
Para encontrar o espelho b tendo o espelho a:
function find_mirror_b_by_a(Numero)
{
var x=0 ;
var resp = 1/e;
var n=1/e;
Numero = pp(Numero)
while( pp(resp)!= Numero )
{
temp = resp+n
if(pp(temp)<=Numero && 1/e<temp)
{
resp+=n
}
n/=2
x++
if(100<x)break
}
return resp ;
}
Todas as funções abaixo retornarão um array (Matriz) com os valores procurados de a e b: [a,b]
Para encontrar os espelhos a e b de forma que b=a*n temos a formula:
======================
function b_igual_a_multiply_by( n )
{
var a = 0;
var b = 1;
var sa = 0;
var sb = 0;
var x =0;
var somatoria=1/e
while( x<150 )
{
a = 1/e - (sa+somatoria)
b = a*n
if( pp(a)<pp(b) && 0<1/e-(sa+somatoria))
{
sa+= somatoria
}
somatoria/=2
x++
}
return [a,b]
}
para encontrar a e b se b=a*2
a' = b' = 0.7071067811865475
a = 0.2500000000000001
b = 0.5000000000000002
b/a = 2
sa = 0.11787944117144222
sb = 0.1321205588285579
sb/sa = 1.1208108684227946
sb+sa = 0.2500000000000001
======================
para encontrar a e b se b=a*3
a' = b' = 0.7282273028722097
a = 0.19245008972987535
b = 0.5773502691896261
b/a = 3
sa = 0.175429351441567
sb = 0.20947082801818373
sb/sa = 1.1940466421205203
sb+sa = 0.38490017945975075
======================
para encontrar a e b se b=a*2.718281828459045
a' = b' = 0.7223797288294246
a = 0.20556834795879822
b = 0.5587927047627472
b/a = 2.718281828459045
sa = 0.16231109321264411
sb = 0.1909132635913049
sb/sa = 1.1762182104287167
sb+sa = 0.35322435680394904
Para encontrar os espelhos a e b de forma que b=a^n temos a formula:
// para n<1
function b_equal_pow_a_by( n )
{
var a = 0;
var b = 1;
var sa = 0;
var sb = 0;
var x =0;
var somatoria=0.25
while( x<100 )
{
a =1/e - (sa+somatoria)
b = pow(a,n)
if( pp(a)<pp(b) && 0<1/e-(sa+somatoria))
{
sa+= somatoria
}
somatoria/=2
x++
}
return [a,b]
}====================== para encontrar a e b se b=a^0.5
a' = b' = 0.7071067811865475
a = 0.25
b = 0.5
b/a = 2
sa = 0.11787944117144233
sb = 0.13212055882855767
sb/sa = 1.1208108684227918
sb+sa = 0.25
======================
para encontrar a e b se b=a^0.3333333333333333
a' = b' = 0.7282273028722096
a = 0.19245008972987543
b = 0.577350269189626
b/a = 2.9999999999999982
sa = 0.1754293514415669
sb = 0.20947082801818362
sb/sa = 1.1940466421205203
sb+sa = 0.3849001794597505
======================
para encontrar a e b se b=a^0.36787944117144233
a' = b' = 0.7223797288294246
a = 0.20556834795879822
b = 0.558792704762747
b/a = 2.7182818284590438
sa = 0.16231109321264411
sb = 0.19091326359130467
sb/sa = 1.1762182104287153
sb+sa = 0.3532243568039488
Como podemos perceber que b=n*a tem o mesmo resultado que b=a^(1/n).
Agora veja que interessante. Se sabemos que para os números espelho temos as equivalências:
b=n*a e b=a^(1/n)
Então, supondo que queremos encontrar um n, podemos dizer que:
n*a=a^(1/n) ou que
b/n=b^n.
Isso nos leva à algumas relações interessantes tais como:
para n*a=a^(1/n):
→ n*a=a^(1/n) → ln(a)+ln(n)=ln(a)/n → n*ln(a)+n*ln(n)=ln(a)
→ n*ln(n)=ln(a)-n*ln(a) → n*ln(n)=-(n-1)*ln(a)
→ n*ln(n)/(n-1)=-ln(a)
Para b/n=b^n:
→ b/n=b^n → ln(b)-ln(n)=n*ln(b) → -ln(n)=n*ln(b)-ln(b)
→ -ln(n)=(n-1)*ln(b) → -ln(n)/(n-1)=ln(b)
Portanto, utilizando as funções espelho, podemos encontrar soluções para equações do tipo n*ln(n)/(n-1)=c1 e ln(n)/(n-1)=c2 (Onde cada c é uma constante originada de -ln(a) ou -ln(b) )
Para encontrarmos os espelhos a e b de forma que b=a+n é o mesmo que procurar sa+sb=n. Portanto, agora vamos focar em sa e sb:
Para encontrar os espelhos de forma que sa+sb=n temos a formula:
//para n<=1
function sa_sum_sb_igual( n )
{
var a = 0;
var b = 0;
var x = 0;
var sa = 0;
var array = 0;
var somatoria=1/e
while( x<100 )
{
a = 1/e - (sa+somatoria)
array = rp(pp(a))
b = array[1]
if( b-a<=n )
{
sa+= somatoria
}
somatoria/=2
x++
}
return [a, b]
}
Observe esse caso especial, se sa+sb=0.25, a=0.25 b=0.5 e a'=b'=√(2)/2
======================
para encontrar a e b se sb+sa=0.25
a' = b' = 0.7071067811865475
a = 0.24999999999999992
b = 0.4999999999999994
b/a = 1.9999999999999982
sa = 0.11787944117144242
sb = 0.13212055882855706
sb/sa = 1.1208108684227858
sb+sa = 0.24999999999999947
======================
para encontrar a e b se sb+sa=0.3333333333333333
a' = b' = 0.7189930617869527
a = 0.21393137359082676
b = 0.5472647069241601
b/a = 2.558132067019208
sa = 0.15394806758061558
sb = 0.17938526575271774
sb/sa = 1.1652323317327895
sb+sa = 0.3333333333333333
Observe esse caso especial, se sa+sb=1, sb/sa=(e-1)
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para encontrar a e b se sb+sa=1
a' = b' = 0.9999999999999979
a = 5.551115123125783e-17
b = 0.9999999999999978
b/a = 18014398509481944
sa = 0.3678794411714423
sb = 0.6321205588285554
sb/sa = 1.7182818284590393
sb+sa = 0.9999999999999978
Para encontrar os espelhos de forma que sb=sa*n temos a formula:
======================
//para n>1
function sb_iqual_sa_multiply_by( n )
{
var a = 0;
var b = 1;
var sa = 0;
var sb = 0;
var x =0;
var somatoria=1/e
while( x<150 )
{
a = 1/e - (sa+somatoria)
sb= n*(sa+somatoria)
b = 1/e+sb
if( pp(a)<pp(b) && 0<1/e-(sa+somatoria))
{
sa+= somatoria
}
somatoria/=2
x++
}
return [a,b]
}
para encontrar a e b se sb= sa * 1.4142135623730951
a' = b' = 0.8284158296434697
a = 0.07126758104810027
b = 0.7873519565185841
b/a = 11.047827707063337
sa = 0.29661186012334206
sb = 0.4194725153471418
sb/sa = 1.4142135623730951
sb+sa = 0.7160843754704839
======================
para encontrar a e b se sb= sa * 1.3333333333333333
a' = b' = 0.7866106176277793
a = 0.10771842159355899
b = 0.7147608006086201
b/a = 6.635455570501594
sa = 0.26016101957788335
sb = 0.3468813594371778
sb/sa = 1.3333333333333333
sb+sa = 0.6070423790150612
Para encontrar os espelhos de forma que sa=sb^n para n menor que 1 temos a formula:
// para n<1======================
function sa_equal_pow_sb_by( n )
{
var a = 0;
var b = 1;
var sa = 0;
var sb = 0;
var x =0;
var somatoria=0.25
while( x<100 )
{
a =1/e - (sa+somatoria)
sb = pow( (sa+somatoria), n )
b = 1/e + sb
if( pp(a)<pp(b) && 0<1/e-(sa+somatoria))
{
sa+= somatoria
}
somatoria/=2
x++
}
return [a,b]
}
para encontrar a e b se sa = sb^0.5
a' = b' = 0.9705069435699819
a = 0.005816226846820816
b = 0.9695963300191973
b/a = 166.70538401527176
sa = 0.3620632143246215
sb = 0.601716888847755
sb/sa = 1.6619111388329633
sb+sa = 0.9637801031723765
Alguns resultados obtidos:
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para n=2 sb = sa*sa
para a = 0.005816226846820816
para b = 0.9695963300191973
sa = 0.3620632143246215
sb = 0.6017168888477557
//====================================
para para n=3 sb = sa*sa*sa
para a = 5.551115123125783e-17
para b = 1.0844107517452315
sa = 0.3678794411714423
sb = 0.7165313105737893
//====================================
para n=1/e é o mesmo que sb = powPerfeita(sa)
para a = 5.551115123125783e-17
para b = 1.0600800687267888
sa = 0.3678794411714423
sb = 0.6922006275553464
