domingo, 22 de março de 2015

Um pouco sobre circuitos ressonantes (Eletrônica)








Introdução

 

Ondas de rádio FM operam entre 88 MHz e 108 MHz em faixas de 200 KHz. Para alcançarmos estas frequências, precisaremos de um circuito ressonante (LC). Utilizaremos um capacitor variável para teste de 1pF à 5pF e tentaremos criar uma faixa um pouco maior que a convencional para variações de 70MHz à 160MHz para termos uma boa margem de busca para o sinal. Como existem perdas, uma ampla margem de frequencia de busca poderá nos ajudar no projeto. Note que a capacitância é inversamente proporcional à frequencia. Este pequeno tutorial foi dividido em 5 partes: 

parte 1 - Capacitores, o primeiro e mais complexo item a se fabricar 

parte 2 - Relação frequência, capacitância e indutância 

parte 3 - Construção do Indutor 

parte 4 - Receita do bolo: Circuito Ressonante 

parte 5 - Exercícios sobre capacitores, indutores e frequências. 

Servirão como referências e calibragens das formulas apresentadas. A necessidade da parte 5 decorre da grande dificuldade de se encontrar material didático que combine a apresentação das formulas com exercícios modelos. O que foi observado na elaboração deste material foi que muitos autores, tanto em livros quanto internete, costumam errar nas conversões de potencias de dez (p, n, μ, m). Por isso, só com um acompanhamento ou um bom material de referência podemos calibrar as conversões destas potencias de forma correta.

Parte 1 - Capacitor 

 

Importantes dados e lembretes usados a frente:
ε0 = permeabilidade elétrica do vácuo 8.854 pF/m. Capacitores μ0 = permeabilidade magnética do vácuo 4*pi*10-7 N/A2. Indutores
Constante dielétrica adimensional dos materiais:
material εr
vácuo 1
ar 1
polietileno 2.2
parafinada 2.2
acrílico 2.8
Papel 3.8
Óleo mineral 4
Baquelita 5
vidro 6
silicone 11
água 80
Constante de permeabilidade relativa adimensional dos materiais:
material μr
vácuo 1
ar 1
ferrite de 200 a 500
Microcosmo:
Yocto (y) 10-24
Zepto (z) 10-21
Atto (a) 10-18
Femto (f) 10-15
Pico (p) 10-12
Nano (n) 10-9
Micro (μ) 10-6
Mili (m) 10-3
Centi (c) 10-2
Deci (d) 10-1
unidade de medida
Macrocosmo:
unidade de medida
Deca (da) 101
Hecto (h) 102
Quilo (k) 103
Mega (M) 106
Giga (G) 109
Tera (T) 1012
Peta (P) 1015
Exa (E) 1018
Zetta (Z) 1021
Yotta (Y) 1024


Criar e calcular capacitância de um capacitor em pF (picoFarads) 

A formula para a criação do capacitor é dada por: C = (ε0*εr*(nc-1)*Ac)/(d) Onde:

ε0 é a permeabilidade dielétrica do espaço livre (vácuo)

εr é o valor, adimensional, da permeabilidade dielétrica relativa do material

nc o número de chapas

Ac a área de cada chapa do capacitor

d é a distancia entre as placas.

Atenção: Para aumentar a capacitância de um capacitor plano, podemos fazer uma ou mais modificações:
- aumentar a área das armaduras;
- diminuir a distância entre as armaduras;
- inserir um dielétrico de maior constante dielétrica.

 
Foi construído um capacitor com as seguintes propriedades:
 
0) - permissividade elétrica do vácuo em pF/m (10-12 C2/Nm2) : -
r) - permissividade relativa do material dielétrico: -
(C) - Capacitância (pF):
(Ac) - área da chapa do capacitor (m2):
(nc) - Quantidade de chapas do capacitor:
(d) - Distância entre as chapas (m):

 

Parte 2 - Relação frequencia, capacitância e indutância


Já temos uma capacitância para trabalharmos. Devemos agora encontrar os valores ideais de indutores para conseguirmos alcançar as frequencias entre 70 MHz e 160 MHz. A frequencia do circuito ressonante é obtida pela formula: f=1/(2*pi*√(C*L)). Onde: "f" é a frequencia "pi" a constante 3,141525... "C" a capacitância que já temos "L" a indutância que precisamos encontrar temos: - A frequencia - A capacitância Isolando L temos: L = 1/(4*pi2*f2*C) Lembremos que ao variarmos o capacitor, variaremos a frequencia e que L deve ser o mais constante possível nessa variação. 



Com a capacitância, frequencia (ou indutância) dadas, encontre a indutância L (ou a frequencia f):
μ0 - permeabilidade magnética do vácuo μH/m: -
μr - permeabilidade relativa do núcleo do indutor: -
C - capacitância que ja temos em pF:
f - frequência em MHz:
L - indutância em μH:

 

 

Parte 3 - Construção do Indutor


L também pode ser obtido pela formula envolvendo a área da seção transversal dada por:
L = μ0r*ni2*Ai / l
Onde:

0" é a permeabilidade magnética do vácuo
r" é a permeabilidade magnética relativa do material
"ni" o numero de espiras do indutor
"Ai" a área da secção transversal do núcleo do indultor, que será pi*r2
"l" o comprimento do núcleo do indutor, que poderá ser ni*passo (onde passo é a largura do fio)
"L" é a indutância em Hz que queremos encontrar

Para que a variação da capacitância forneça a variação da frequência que queremos ressonâncias, precisamos ter um indutor definido com:
- O comprimento do núcleo do indutor
- O raio do núcleo do indutor
- O numero de voltas do indutor

Respeitando os limites dos parâmetros, são 3 valores que podemos escolher para obtermos uma indultancia L determinada. Nesse caso, podemos fazer uma otimização das variáveis, para que possamos economizar material e espaço na placa do circuito. Temos então que:

L = μ0r*ni2*Ai / l = 1/(4*pi2*f2*C)

A quantidade de espiras vai influenciar no comprimento do núcleo. Ou seja, se temos 1 espira por 1mm para x espiras teremos x mm. Então, para cada espira, teremos um passo de sua largura.

L = μ0r*ni2*Ai / ni*passo = 1/(4*pi2*f2*C)

Substituindo Ai por pi*r2: L = μ0r*ni2*pi*r2 / ni*passo = 1/(4*pi2*f2*C)

Fornecendo um numero de cada vez para as espiras, podemos encontrar rapidamente um bom raio para o indutor.

Com o capacitor acima criado, faremos um indutor para o circuito ressonante. Dadas as seguintes propriedades, encontrar:
 - o menor numero de espiras do indutor
 - o menor raio e 
 - comprimento de núcleo para o funcionamento do circuito ressonante possível:
Lx - recalcular indutância com base em ni e Ai (pi*ri2):
ni - numero de espiras:
ri - Raio do núcleo do indutor em m:
passo - comprimento do passo em m:
li - comprimento do núcleo em m:


Apos as definições das propriedades do capacitor e indutor, recalcule a indutância para confirmar se a mesma se encontra próximo dos limites definidos pela formula da frequência. O indutor é um componente passivo, ou seja, a indutância, numero de espiras e comprimento do passo deverão, teoricamente, ser constantes e de muito pouca variação para que o circuito ressonante funcione. 8% de erro pode ser tolerável.

 

Parte 4 - receita do bolo: Circuito Ressonante


Este tutorial foi baseado na hipótese de que não possuímos nem o capacitor nem o indutor. Comparando a complexidade da produção do capacitor e do indutor, é notável que o capacitor envolve maior complexidade. Por isso, devido a esta complexidade maior, decidi começar a receita pelo capacitor de forma que ao escolhermos uma capacitância qualquer e uma frequência possamos encontrar um indutor com um indutância, raio e comprimento fixos. Um indutor nada mais é que uma bobina. O inverso também poderia ser feito: definir um indutor e a frequência primeiro para depois determinarmos as propriedades do capacitor variável. Supondo que temos um capacitor variando de 1pF à 5pF, e uma faixa de frequências que varia aproximadamente de 70MHz à 160MHz, começaremos encontrando a indutância para a frequência mais baixa:

na parte 1 - digite a capacitância máxima, aproximadamente 5pf. Se desejar também, procure pelas outras propriedades ideais de seu capacitor.

na parte 2 - digite a frequência mínima de 70MHz e clique em "calcular indutância". Tentaremos atingir uma indutância de 1uH. Em seguida, para confirmar, clique em recalcular capacitância. A capacitância deve bater com o digitado na parte 1. Agora que temos uma indutância, calcularemos as dimensões do indutor.

na parte 3 - Escolha um bom raio e um bom comprimento (ou passo de espiras) para o núcleo do indutor. Lembre-se: indutância, raio e passo nunca variarão. Agora, de posse de uma indutância, raio e comprimento de núcleo fixos, descobriremos qual a capacitância mínima para operar na frequência mais alta que impomos 160MHz.

Na parte 2 digite a nova frequência e clique em recalcular capacitância. Como podemos ver, o resultado apresentado é de aproximadamente 1pF. 


Parte 5 - Exercícios

 
 
Alguns exercícios sobre circuitos ressonantes servirão de calibragem e referência para as formulas acima apresentadas


                                        Exercícios de capacitância


//==================================================================================================
C1 - determine a capacitância pelos dados:
//==================================================================================================
(ε0) - permissividade elétrica do vácuo em pF/m (10-12 F/m) : 8.854187817 
(εr) - permissividade relativa do material dielétrico:  1
(Ac) - 0.0007679981654493518 m2:  
(nc) - 6 chapas  
(d) - 0.001 m

 
 
Exercícios de indutância


//==================================================================================================
I1 - determine a indutância em μH da bobina de núcleo de ar para os dados:
//==================================================================================================
a) l = 100mm = 0.1m
b) ri = 2mm = 0.002m
c) ni = 100 voltas
d) ur = 1
e) u0 = 4*pi/10 = 1.2566370614359172953850573533118
f) A = pi*ri^2
g) L = (u0*ur*ni^2*A)/l

L = u0*ur*pi*ni^2*r^2/l

 
 
//==================================================================================================
I2 - determine quantas espiras para os dados:
//==================================================================================================
a) ri =  0.005m
b) l = 0.01m
c) L = 100 μH
d) ur = 1
e) u0 = 4*pi/10 = 1.2566370614359172953850573533118
f) A = pi*ri^2
g) ni = √(L*l/(u0*ur*A))

ni = √(L*l/(u0*ur*pi*ri^2))

 
 
//==================================================================================================
I3 - determine quantas espiras para os dados:
//==================================================================================================
a) ri =  0.005m
b) l = 0.02m
c) L = 1 mH = 1000 μH
d) ur = 2000
e) u0 = 4*pi/10 = 1.2566370614359172953850573533118
f) A = pi*ri^2
g) ni = √(L*l/(u0*ur*A))

ni = √(L*l/(u0*ur*pi*ri^2))

 
 
Exercícios de frequência


//==================================================================================================
f1 - determine a frequência para os dados:
//==================================================================================================
a) C =  43μF 
b) L = 200μH
c) f=1/(2*pi*√(C*L))

 
 
//==================================================================================================
f2 - determine a frequência para os dados:
//==================================================================================================
a) C =  40μF 
b) L = 4000μH
c) f=1/(2*pi*√(C*L))

 
 
//==================================================================================================
f3 - determine a frequência para os dados:
//==================================================================================================
a) C =  500μF 
b) L = 200μH
c) f=1/(2*pi*√(C*L))

Nenhum comentário:

Postar um comentário